FEST 2020

Uno de los problemas generales de la biología es vincular genotipo con fenotipo, es decir, entender con exactitud cómo ciertos pedazos de ADN eventualmente determinan cierto rasgo o propiedad física. La forma física de los organismos es quizá el fenotipo más estudiado a lo largo de la historia, siendo fundamental para entender la evolución de las especies. La forma no se limita a la altura de un organismo: podemos también hablar de la morfología de biomoléculas, células, y tejidos. Existe una diversidad increíble de forma, y necesitamos de un método suficientemente general para medir y comparar tal diversidad. El Análisis Topológico de Datos (ATD) ofrece precisamente herramientas versátiles para cuantificar y comparar la morfología de múltiples individuos a la vez. En este caso, tenemos interés de entender mejor la cebada. Usando curvas de Característica de Euler, podemos clasificar con precisión más de 28 variedades distintas de cebada basados únicamente en escanes 3D de sus granos. Esta caracterización de forma de granos luego nos permitirá esclarecer cuáles genes contribuyen a su forma, y como estos evolucionaron a lo largo del tiempo.

Describiré varios complejos simpliciales homotópicamente equivalentes que se le pueden asociar a un grupo, cuyo tipo de homotopía es más complicado entre más lejos esté el grupo de ser abeliano, y platicaré sobre qué sabemos acerca de ellos.

En esta charla se introducirán los sistemas Hamiltonianos sobre variedades de contacto a partir de la analogía con el caso simpléctico y luego se presentarán algunas aplicaciones interesantes en la física.

Lejeune Dirichlet introdujo las series posteriormente nombradas en su honor como parte de la demostración de su famoso teorema sobre números primos en progresiones aritméticas. A pesar de no ser tan relevantes como las series de potencias en el análisis general, ya que sólo representan a una clase especial de funciones analíticas, las series de Dirichlet han resultado ser una herramienta fundamental en las aplicaciones del análisis a la teoría de números. En esta charla veremos algunas propiedades sobre la convergencia de este tipo de series, así como el concepto más general de sumabilidad introducido por Harald Bohr en su tesis doctoral.

En esta charla hablaremos del contexto histórico, los qué y algunos de los cómo que rodean a la figura de Gian Carlo Rota (1932 – 1999).

Una superficie cerrada $S$ de género mayor a 1 admite muchas estructuras hiperbólicas. Estas estructuras se pueden codificar algebraicamente mediante representaciones en $PSL(2,\mathbb{R})$ de su grupo fundamental $\pi_1(S)$. ¿Puede una representación $\pi_1(S) \to PSL(n,\mathbb{R})$ para $n>2$ también albergar información geométrica sobre $S$? En esta charla veremos la respuesta que nos dan las representaciones Anosov. Para llegar ahí hablaremos de qué son las representaciones y visitaremos, entre otros lugares, el espacio de Teichmüller, el componente Hitchin y los espacios simétricos.

Corriente, voltaje y resistencia son conceptos básicos de la teoría de circuitos. En esta charla veremos que también son útiles en probabilidad discreta. Los usaremos para calcular (o acotar) probabilidades de eventos relacionados a caminatas aleatorias en gráficas.

En esta charla hablaremos de ideales binomiales de aristas. Veremos cómo se relacionan las propiedades homológicas de estos ideales con las propiedades de conectividad de la gráfica.

Hablaremos de cómo la geometría Riemanniana comenzó a estudiar espacios métricos y luego le añadió teoría de la medida. Esta combinación nos permite replantearnos qué es un espacio y cómo describimos su forma; en particular, su curvatura, su volumen y distancia, y además las posibles relaciones entre dichas características. Este trío dinámico nos ha permitido simplificar demostraciones pasadas, ver cuáles eran los ingredientes realmente importantes y, definir una nueva clase de objetos matemáticos con los cuales divertirse.

En los últimos años el desarrollo de la teoría de transporte óptimo ha tenido aplicaciones que varían desde finanzas hasta relatividad general. El objetivo de esta plática es introducir las nociones que permiten entender las dimensiones curvatura-dimensión en variedades sin hacer uso de la estructura diferencial. Esta idea es fundamental para el 'nuevo desarrollo' de la teoría de relatividad general.

El programa de Langlands tiene como conjetura central un resultado llamado El principio de Functorialidad. Este resultado ha sido sólo demostrado en ciertos casos pero estos han sido suficientes para causar un impacto serio en la matemática moderna. Posiblemente el resultado más famoso en cuya prueba fue necesaria una instancia de este principio de Functorialidad ha sido el último Teorema de Fermat. Más aún, es sabido desde que el principio fue conjeturado que una demostración de tal enunciado tiene como consecuencia varios de los más importantes problemas de la teoría de números moderna, por ejemplo, una teoría de clases no conmutativas o la conjetura de Ramanujan.

El progreso de esta área está ligado muy fuertemente a una herramienta llamada: la Fórmula de Traza. Langlands introdujo varias ideas de cómo utilizar dicha fórmula para extraer el principio de functorialidad a partir de un uso adecuado de dichas fórmulas, pero en el proceso se dio cuenta que había varios obstáculos para poder llevar a cabo este método de manera satisfactoria. Esto dio cabida a la teoría de Endoscopía (matemática) cuyo problema central estuvo concentrado por muchos años en lo que suele llamarse "el lema fundamental", que fue demostrado hasta el 2008. A pesar del triunfo de esta teoría, aún no es suficiente para poder probar Functorialidad en su totalidad, y por lo tanto Langlands introdujo en el 2004 una nueva perspectiva, que denotó Más allá de la Endoscopia (Beyond Endoscopy). Es un gran plan que requiere la creación de una nueva clase de fórmula de Traza, entre otras cosas, para demostrar finalmente el principio de Functorialidad en su totalidad.

Por supuesto, en este mini curso no podremos ver todo lo que se acaba de mencionar, pero nuestro objetivo será tratar de convencernos de varias partes, aunque sea de un modo divulgativo (pues los tecnicismos son muchos). Principalmente darnos una idea de:

• ¿Qué es el principio de functorialidad? Al menos en casos donde podamos evitar todos los prerequisitos que se requieren para dar un enunciado completo.
• ¿Qué es la fórmula de traza y qué papel juega?
• ¿Qué dice, más o menos, el lema fundamental?
• ¿Qué implicaciones tiene el principio de functorialidad?
• ¿Qué es "Más allá de la endoscopía" y que nuevos problemas abiertos tiene?

Es un curso ambicioso, probablemente no podamos cubrir todas estas preguntas incluso, pero creo el programa de Langlands para poder apreciarse realmente requiere de ver como sus personajes principales provenientes del análisis armónico, la teoría de números y la teoría de representaciones se coordinan para producir, por un lado, problemas y fenómenos misteriosos e inesperados y, por el otro lado, tener como consecuencia resultados impactantes.

Después de la sesión de la mañana nos quedaremos en zoom un rato más para platicar. Dependiendo del número de participantes, nos dividiremos en breakout rooms. Cada breakout room contará con la moderación de un organizador

El miércoles por la tarde habrá una reunión virtual en Gather town. Enviaremos más información durante la semana del FEST.